Писаревский Б. М., Харин В. Т. Беседы о математике и математиках.
ЗЕМЛЯ ИМЕЕТ ФОРМУ ГЕОИДА
Возьмём быка за рога и сразу поставим главный вопрос, ко-
торый интересует нас в этой главе: что такое математика?
Мы понимаем, что этот вопрос ставился многократно и что
существует много достойных книг с таким или похожим на-
званием. Но, во-первых, с течением времени даже специалисты
несколько видоизменяли своё мнение по поводу ответа на этот
вопрос, и, во-вторых, это меняющееся мнение излагалось, может
быть, недостаточно демократично для того, чтобы его поняли те,
кому этого хочется и кто имеет для этого достаточные основания.
Казалось бы, чего проще? Ведь математику изучают все
школьники и все студенты, даже юристы, религиоведы и ху-
дожники, если судить по нынешним официальным программам
российских вузов. Применяют математику все люди без исключе-
ния, хотя бы потому, что все считают. Считают яблоки, калории,
электроны, количество нераскрытых преступлений, прочность
конструкций, рекордные секунды и деньги (деньги, безусловно,
считают все).
И, тем не менее, попробуем выяснить, что об этом думают лю-
ди. Простейший и самый «модный» способ — произвести «социо-
логический» эксперимент, выйдя на улицу и задавая наш вопрос
первым встречным. Дорогой читатель, раз вы взяли в руки книгу
с таким названием, вы понимаете, что может получиться из этого
эксперимента. Вряд ли стоит публиковать все ответы. И всё же
мы провели подобный опрос. Лучшим из приличных ответов
оказался следующий: «Спросите что-нибудь полегче. Давайте я
скажу, что такое физика, химия, экономика, история или другие
науки».
Лауреат прав — действительно легче. Предмет каждой из
упомянутых наук можно охарактеризовать в нескольких словах,
не слишком отклоняясь от истины: физика — общие свойства ма-
терии; химия — состав и превращения веществ на молекулярном
уровне; экономика — это, как ни крути, способы разбогатеть, же™лательно законным путем; история — представление историков
о том, как люди жили раньше.
Любая из перечисленных наук смотрит на жизнь природы
или человеческого общества со своей, вполне определённой и по-
нятной точки зрения, собирает и осмысливает факты, пытается
выявить закономерности, имеющиеся в её области, и даёт рецеп-
ты использования полученных данных в интересах человечества.
Во всяком случае, человеку хочется думать, что это происходит
в его интересах, хотя время от времени у него и возникают сомне-
ния. Какую же область реальности изучает математика? С какой
стороны смотрит на мир она?
Произведём второй эксперимент: обратимся к мнению тех,
кто пишет на интересующую нас тему. Попробуем полистать
книги в поисках краткого и чёткого определения математики.
Встретятся, например, такие варианты: «математика — наука о
числах и фигурах, т. е. о количественных отношениях и прост™
ранственных формах действительного мира» или «математи-
ка — совокупность наук, изучающих количество и порядок». Эти
определения, отвечая на один вопрос, ставят множество новых.
В частности, какие именно области знания следует относить
к математике? Ведь даже в географии измеряются и сравниваются такие количества, как длины рек, высоты гор, скорости ветров
и глубины океанов. А уж о пространственных формах и говорить
не приходится. Историки постоянно имеют дело и с количеством,
и с упорядоченностью событий во времени и пространстве. Од™
нако никому не приходит в голову относить эти науки к ма-
тематическим. Можно возразить, что математика имеет дело
с количеством и порядком «в чистом виде», а не применительно
к чему-либо. Но тогда, как быть, скажем, с теорией вероятностей,
которая использует эти понятия лишь применительно к изучению случайных явлений, но, как известно, представляет собой
сугубо математическую науку? Наконец, прежде чем определять
математику с помощью понятий «количество» и «порядок», сле-
довало бы определить самим эти понятия.
Встречаются и другие краткие определения математики,
имеющие скорее образный, а иногда и шутливый характер, но,
тем не менее, вносящие в «портрет» математики значительно бо-
лее интересные штрихи, чем определения, приведённые выше.
Вот, например: «математика — это язык науки»; «математика —
это то, что написано в книгах по математике»; «математика есть
единая симфония бесконечного» (Д. Гильберт); «со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»
(Н. Бурбаки). Мы надеемся, что, прочтя ещё несколько страниц, читатель
сможет по достоинству оценить остроумие двух первых высказы-
ваний и разделить с нами восхищение красотой третьего и точ-
ностью последнего.
Под впечатлением от этого последнего высказывания поставим ещё один, третий эксперимент. Обратимся к древности,
к происхождению самого термина «математика». Если названия
других наук, как правило, отражают специфику их предмета
(«география» означает, в переводе с греческого, «описание Зем-
ли»; «физика» происходит от слова «природа»; «экономика» —
это «управление домом, хозяйством»), то «математика» берёт начало от греческого mathema — познание, наука. Вот
так — просто и солидно: познание вообще, наука вообще, без
указания объекта изучения. Что же имели в виду древние
мудрецы, давшие этой науке столь гордое название? Похоже,
они полагали, что ей всё равно, что изучать, и отводили ей
некую универсальную роль в познании различных аспектов
реальности. С одной стороны, против такой постановки вопроса
трудно возразить по уже упоминавшейся причине — не зря
же математику изучают все школьники и студенты. Однако
хотелось бы понять, в чём именно состоит универсальность
математики и действительно ли математика так всемогуща, как
полагали древние греки.
Итак, мы убедились, что нелегко найти короткое и ясное
определение математики. Тем не менее оно существует. И неза-
чем рыться в книгах, лучше прямо потребовать его у мате-
матиков-профессионалов. Чтобы психологически подготовиться
к восприятию этого определения, напомним поучительную шут-
ку о том, что отвечают географы, когда у них спрашивают, ка-
кую форму имеет Земля.
Античные географы считали Землю плоской. Позднее на ос-
новании достижений астрономии и открытий великих авантю-
ристов эпохи Магеллана географы заключили, что Земля — это
шар. С развитием наук это мнение уточнялось: нет, Земля не
шар, это скорее эллипсоид; впрочем, пожалуй, этот эллипсоид
несколько сжат в одной половине — нечто вроде груши. В наше
время географов уже не устраивают в качестве модели Земли ни
шар, ни эллипсоид, ни груша. На основании новейших измерений
они торжественно заявляют: Земля имеет форму геоида. Но что
такое геоид? В энциклопедических словарях можно прочитать,
что геоид — это тело, имеющее форму Земли!
Конечно, перестав шутить, мы понимаем, что географы —
люди серьёзные. Просто их объект исследования сложен для краткого объяснения. Поэтому они предпочитают обозначать его
кратким термином, глубокий и простой смысл которого они сами
прекрасно понимают.
Вот теперь обратитесь к профессионалу-математику, а лучше
к двум сразу (так будет интереснее), и спросите: «Что изуча-
ет математика?» Скорее всего профессионалы сначала крити-
чески вас осмотрят (стоит ли тратить время), а затем вдруг
начнут спорить между собой. Помимо уже встречавшихся нам
фраз о математике, вы услышите массу звучных терминов, та-
ких, как «системы структур», «метаматематика», «теоретико-
множественный язык», «интуиционизм» и др. Через некоторое
время математики успокоятся, ибо спорили они для собственного
удовольствия. Да, поверьте нам, истинные математики всегда
предпочтут беседе о женщинах и даже об автомобилях, деньгах
или садовых участках лишнюю минуту общения со своей общей
«любовницей и повелительницей». Если же говорить точно, то
математики работают по специальности непрерывно, даже когда
окружающие об этом не подозревают. Один наш знакомый, мол о™
дой доктор наук, рассказывал: «Сижу я дома на диване, а тёща
ходит и ворчит, что вот, дескать, зачем женился, — взвалил всё
на молодую жену, а сам целый день на диване, даже в магазин
лень сходить. Глупая женщина, не видит, что ли, что я работаю?»
Но что ещё более интересно, математики иногда работают, не
подозревая об этом сами. Впрочем, читатель, по-видимому, зна-
ком с этим явлением работы подсознания и даже поправит нас,
сказав, что это касается не только математиков, но и всякого,
кто постоянно нацелен на решение определённой задачи. Имен-
но напряжённая работа подсознания приводит к неожиданным
озарениям.
Так вот, успокоившись, профессионалы дружно сообщат вам:
«Математика изучает свойства математических структур, или,
если вам так больше нравится, математических моделей». Ну вот,
наконец, мы и получили краткое определение. Но, что касает-
ся понятности, то единственный выход в этой ситуации — на-
помнить математикам историю с геоидом. Тогда они вздохнут,
посмотрят на часы, попросят сварить кофе и, устроившись по-
удобнее в креслах, расскажут примерно следующее.
